Fungsi

 Fungsi (pemetaan) merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B, jika setiap anggota himpunan A berpasangan tepat satu dengan anggota himpunan B. 

Semua anggota himpunan A disebut dengan Domain atau himpunan Asal.

Semua anggota himpunan B adalah Kodomain atau himpunan kawan

Dan himpunan B yang merupakan hubungan dari himpunan adalah Himpunan Hasil atau Range

Contoh

Domain adalah A = {1,2,3}

Kodomain adalah B = {1,2,3,4}

Range fungsi = {2,3,4}

Sebuah fungsi dapat dinotasikan dengan huruf kecil sepeti f, g, h. Misal, fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B dinotasikan f(x) dengan aturan f : x → 3x+3. Artinya fungsi f memetakan x ke 3x+3. Jadi daerah bayangan x oleh fungsi f adalah 3x+3 sehingga dapat dinotasikan dengan f(x) = 3x+3. Dari uraian ini dapat dirumuskan:

Jika fungsi f : x → ax +b dengan x anggota domain f , maka rumus fungsif adalah f(x) = ax+b

Contoh

Diketahui fungsi f : x → 3x + 3 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan

1. f(3)
2. bayangan (-2) oleh f
3. nilai f untuk x = -4
4. nilai x untuk f(x) = 6
5. nilai a jika f(a) = 12

Jawab

Fungsi f : x → 3x + 3

Rumus fungsi: f(x) = 3x+3

1. f(3) = 3(3)+3 = 12
2. bayangan (-2) oleh f sama dengan f (-2), jadi f(-2) = 3(-2)+3 = -3
3. nilai f untuk x = -4 adalah f (-4) = 3(-4)+3 = -9
4. nilai x untuk f(x) = 6 adalah

        Jadi 3x+3=6

         <=> 3x =6-3

         <=> 3x =3

          <=> x= 3/3=1

        5. nilai a jika f(a) = 12

            Jadi 3a+3 =12

            <=> 3a = 12-3

            <=> 3a= 9

            <=> a= 9/3=3

Menentukan Rumus sebuah fungsi

Fungsi g yang berlaku pada himpunan bilangan riil ditentukan oleh rumus g(x) = ax + b dengan a dan b adalah bilangan bulat. Jika g(-2) = -4 dan g(1) = 5. Coba sobat tentukan nalai dari:

1. nilai dari a dan b
2. rumus fungsi
3. g (-3)

Jawaban

1. Untuk mencari nila a dan b kita buat persamaan dulu dari himpunan pasangan berurutan yang diketahui.
   g(-2) = -4 → -4 = -2a + b → b = 2a – 4 _…(1)
   g(1) = 5    →  5 = a + b _…(2)
   kita substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2

   5 5 5 9 a

   = a + b = a + 2a – 4 = 3a – 4 = 3a = 3

   b = 2a – 4
   b = 2(3) -4
   b = 2
   jadi nilai a = 3 dan b = 4

2. rumus fungsinya g(x) = 3a + 2
3. g(x) = 3a + 2
   g(-3) = 3 (-3) + 2
   g (-3) = -7

Banyaknya Fungsi
Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) dan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) maka:
Banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B = n(B)^n(A)
Banyaknya fungsi yang mungkin dari B ke A = n(A)^n(B)

Contoh:
Himpunan A ={1,2,3,4} dan B={A,B,C}, carilah:
a. Banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B
b. Banyaknya fungsi yang mungkin dari B ke A
Jawab:
Diketahui:
n(A) = 4 dan n(B) = 3
a. Banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B = n(B)^n(A) = 34 = 81
b. Banyaknya fungsi yang mungkin dari B ke A = n(A)^n(B) = 43 = 64

4. Notasi dan Rumus Fungsi Linear
a. Notasi fungsi linear
Fungsi linear dinotasikan dengan f : x → ax + b
dimana:
f = nama fungsi
x = anggota daerah asal
ax+ b = bayangan dari x

b. Rumus fungsi linear
f(x) = ax + b
x variabel dan f(x) nilai fungsi
contoh:
f(x) = 2x + 2
Nilai fungsi untuk x = 2 adalah f(2) = 2 x 2 + 2 = 6

c. Grafik fungsi linear
Contoh: 
gambarlah grafik fungsi f(x) = 2x + 2
jawab:
tentukan titik potong dengan sumbu x dan y terlebih dahulu:
titik potong dengan sumbu x jika f(x) = 0
0 = 2x + 2 → 2x = -2, maka x = -1
diperoleh titik (-1,0)
titik potong dengan sumbu y jika x = 0
f(x) = 2x + 2  f(x) = 2. 0 + 2 = 2
diperoleh titik (0,2)
Buat sumbu koordinat dengan titik-titik (-1,0) dan (0,2) tersebut, kemudian
tarik garis lurus yang melewati titik-titik koordinat tersebut.

5. Korespondensi Satu-satu
Suatu fungsi disebut korespondensi satu-satu jika setiap anggota A tepat berpasangan dengan setiap anggota B.

Banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan B adalah:
1 x 2 x 3 x .......x(n-1) x n
Contoh:
Himpunan A={1,2,3} dan himpunan B={A,B,C}. Banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin untuk himpunan A dan B adalah 1 x 2 x 3 = 6