SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL ( MENYELESAIKAN MASALAH DENGAN MENGGUNAKAN SPLDV)

 MODEL MATEMATIKA PADA SPLDV

 

Model matematika adalah penyajian bahasa sehari-hari kedalam bahasa matematika yang lebih sederhana dan di mengerti.

Di dalam model matematika  bentuk pernyataannya harus diubah menjadi suatu variabel

 

Contoh

1.     Ibu membeli buah jeruk 2 kg dan buah salak 3 kg dengan harga Rp 30.000 sedang Zaneta membeli 1kg salak dan 2 kg jeruk dengan harga Rp 9.200. tentukan bentuk matematikanya!

Jawab

Dimisalkan   jeruk = x

                   Salak = y

Model Matematikanya adalah

2x + 3y = 30.000

2x + y   = 9.200

2.    Di dalam kandang terdapat kambing dan ayam sebanyak 13 ekor. Jika jumlah kaki hewan tersebut 32 2kor, maka jumlah kambing dan ayam masing-masing adalah....

Jawab

Dimisalkan   kambing = x

                   Ayam      = y

                   Jumlah kaki kambing = x

                   Jumlah kaki ayam      = y

·         kambing dan ayam sebanyak 13 ekor

Model matematika

x  + y  = 13

·         jumlah kaki hewan tersebut 32 2kor

Model matematika

4x + 2y =32

Dapat disederhakan Model matematika 4 dan 2 dapat dibagi dengan 2

4x + 2y =32

                   ------------- : 2

                   2x + y = 16

 MENYELESAIKAN SOAL SPLDV DENGAN BENTUK SOAL CERITA

 

Contoh

1)    Soal ❹ (UN 2013)

Harga 7 kg gula dan 2 kg telur Rp105.000,00. Sedangkan harga 5 kg gula dan 2 kg telur Rp83.000,00. Harga 3 kg telur dan 1 kg gula adalah ....

Pembahasan

Diketahui

Misal  gula   = x

          Telur = y

Model matematika

7x + 2y = 105.000…..(1)

5x + 2y = 83.000 …..(2)

Ditanya  harga x +3 y ?

Jawab

Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:

7x + 2y = 105.000

5x + 2y = 83.000 _

          ó2x  = 22.000

            ó x = 11.000

Subtitusi ( pilih persamaan yang paling sederhana antara (1) dan (2))

5x + 2y           = 83.000

ó  5(11.000)+2y = 83.000

ó55.000 + 2y = 83.000

ó      2y = 83.000-55.000

ó      2y = 28.000

ó

Jadi

x +3 y = 11.000 + 3(14.000)

                   = 11.000 + 42.000

                   = 53.000

Jadi, harga 3 kg telur dan 1kg gula adalah Rp53.000,00

 

 

 

 

2)   Soal ❺ (UN 2013)

          Harga 2 baju dan 1 celana Rp230.000,00. Sedangkan harga 3 baju dan 2 celana Rp380.000,00. Harga 1 baju dan 1 celana adalah....  

Pembahasan

Diketahui

Misal baju   = x

         Celana = y

Model Matematika

2x + y    = 230.000 ….(1)

3x + 2y  = 380.000 ….(2)

Ditanya x + y ?

Jawab

Eliminasi persamaan (1) dan (2) diperoleh:

2x + y    = 230.000 | 2 |   2x + 2y = 460.000

3x + 2y  = 380.000 | 1 |   3x + 2y = 380.000  ­_

                                                ó x = 80.000

Subtitusi

    2x + y    = 230.000

ó2(80.000) + y = 230.000

ó 160.000 + y = 230.000

ó y = 230.000 – 160.000

ó y = 70.000

Jadi   x + y   = 80.000 + 70.000

                             = 150.000

 harga 1 baju  dan 1 celana adalah Rp150.000,00

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

1.  PENGERTIAN SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL

    a. PERSAMAAN LINIER SATU VARIABEL

Kalian pasti ingat ketika di kelas VII materi Persamaan linier satu variabel, dimana bentuk persamaan liner yang hanya memiliki satu variabel (PLSV).

Contohnya

•  2x+ 6
• 3m -4

2 , 3 adalah konstanta ( bilangan di depan simbol)

  x, m  adalah variable ( simbol yang belum jelas nilainya)

 6, -4 adalah konstanta  

 b. PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL (PLDV)

 Suatu persamaan yang memiliki dua nilai variabel

Contoh

 1. 2x +5y = 10

 2. 3a-b =-7

 3. p+q =4

 Keterangan :

 2, 5, 3 , -1 dan 1 adalah koefisien

 x, y, a, b, p, dan q adalah variabel

 10, -7, 4 adalah konstanta

 c. SISTEM PERSAMAAN LINIER DUA VARIABEL (SPLDV)

 Suatu cara untuk menyelesaikan 2 pebuah/variabel yang ekuivalen pada dua persamaan.

 Ingat didalam PLSV, PLDV , SPLDV semua variabelnya harus berpangkat satu.

Bentuk persamaannya 

 ax+by= c

 px+qy= r

 SPLDV ini biasanya digunakan untuk menyelesaikan masalah sehari-hari yang membutuhkan penggunaan Matematika, seperti menentukan harga suatu barang, mencari keuntungan penjualan, sampai menentukan ukuran suatu benda

langkah-langkah tertentu untuk menyelesaikan masalah dengan menggunakan SPLDV, yaitu:

1. Mengganti setiap besaran yang ada di masalah tersebut dengan variabel (biasanya dilambangkan dengan huruf atau simbol).
2. Membuat model Matematika dari masalah tersebut. Model Matematika ini dirumuskan mengikuti bentuk umum SPLDV.
3. Mencari solusi dari model permasalahan tersebut dengan menggunakan metode penyelesaian SPLDV.

2. PENYELESAIAN  PADA SPLDV

Penyelesaian SPLDV terdapat beberapa cara, yaitu:

1) Metode Grafik

 Contoh Soal:

Tentukah penyelesaian dari SPLDV berikut:

 Mencari titik koordinat (x,y)

 Bentuk grafiknya

 

 2) Metode Eliminasi

 Menghilangkan unsur variabel .

 3) Metode Subtitusi

 Metode menggantikan unsur peubah atau variabel x menjadi y dan sebaliknya y menjadi x

 

 

4) Metode Campuran 

Metode campuran merupakan metode gabungan antara metode elimasi dan subtitusi

Latihan ( kerjakan di buku berpetak)

1. Berikut  yang termasuk SPLDV adalah beri penjelasan
• 5a-1 = 4
• m+ n = 2 dan 3m-n =1
• 2x-6= y
• 
  
  
  
  

2. Pada sistem persamaan 3x – 2y = 12 dan 5x + y = 7 selesaikan dengan metode grafik 

3. Pada soal ke dua tentukan nilai x dan y dengan menggunakan metode campuran

Kisi kisi PAS

 

LATIHAN GARIS LURUS YANG KE 2

1. Suatu garis g yang melewati titik (2,-1) tentukan persamaannya apabila sejajar
• garis h dengan persamaan 2x-3y+5=0
• garis h dengan persamaan y=-1/4 x+5
• garis h yang melewati titik (2,5) dan (3,-2)
2. Apabila garis g yang melewati titik ( 2,-1) dan ( 2, 3) tegak lurus dengan
• garis k (2,4)
• garis j ( -2,-1)
3. suatu garis yang melalui ( 2,3), (-1, 2) dan(a, 2) tentukan

• gambar grafiknya
• nilai a

PERSAMAAN GARIS LURUS 2

 HUBUNGAN ANTARA DUA GARIS

Bentuk persamaan dari persamaan aris lurus adalah 

Y = mx + c

dimana sudah kita singgung bahwa

m   adalah gradien

c   adalah konstanta

Ada pula bentuk lain dari persamaan garis lurus adalah

ax+by+ c= 0

•  SALING SEJAJAR

        Dua buah garis dikatakan sejajar apabila mempunyai gradien atau kemiringan yang sama.

Mis diketahui garis l mempunyai persamaan y=2x+2 sejajar dengan garis g dengan persamaan y=2x-1 

 Kita bisa lihat pada gambar

Garis yang berwarna merah adalah garis l dengan persamaan y=2x+2 =>ml=2

 Garis yang berwarna putih adalah garis g dengan persamaan y=2x-1 =>mg=2

 Jadi disini 

ml=mg=2 maka kedua garis tersebut sejajar

 Kedua garis dikatakan sejajar

 m1=m2

 CONTOH

Suatu garis k melewati titik ( 2,1) sejajar dengan garis g dengan persamaan y=x-3 tentukan persamaan garis k

 Jawab 

 garis g y=x-3 maka 

mg=1 karena sejajar maka mk=mg=1

Jadi persamaan garis k adalah dengan titik (2,1)

y-y1=m (x-x1)

y-1 = 1(x-2)

y-1=x-2

 <=> y = x-1

• TEGAK LURUS

Dua buah garis dikatakan tegak lurus apabila mempunyai gradien atau kemiringan yang berbanding

        m1.m2=-1

m1=-1/m2

 m2=-1/m1

 Mis diketahui garis l mempunyai persamaan y=2x+2 tegak lurus dengan garis g dengan persamaan y=-1/2x-1 

 Kita bisa lihat pada gambar

  CONTOH

Suatu garis k melewati titik ( 2,1) tegak lurus dengan garis g dengan persamaan y=1/2x-3 tentukan persamaan garis k

 Jawab 

 garis g y=1/2x-3 maka 

mg=1/2 karena tegak  lurus 

maka

mk.mg=-1

         mk=-1/mg

            mk=-1/1/2 =-2

Jadi persamaan garis k adalah dengan titik (2,1)

y-y1=m (x-x1)

y-1 = -2(x-2)

y-1=-2x+4

 <=> y=-2x+3

 

Tugas persamaan garis lurus 1

 Kerjakan LKS tugas Individu pada buku berpetak dan cara

1. Halaman 42 no. 2 dan 5

2. Halaman 43 no 6 c

3. Halaman 44 no 3 dan 4

4. Halaman 45 no 3 a

5. Halamab 46 no 1 dan 4

6. Halaman 47 1d dan 2 c

7. Halaman 48 no 1 dan 5

PERSAMAAN GARIS LURUS

 PERSAMAAN GARIS LURUS

Y=mx+c

m = gradien= kemiringan

Contoh

Y= -2x+4

m = koefisien x=-2 = gradien

ax+by+c=0

Contoh

2x+3y+6=0

Mencari gradien/ kemiringan

1. Y=2x+2

Menentukan gradiennya?

y= mx + c

gradien= m= koefisien x

y = 2x +2

m= 2

2. 2x+3y-6=0

Menetukan gradiennya?

2x + 3y -6 =0

-3y =2x-6     -------> y=mx+c

y=-2/3x +2

Jadi m= -2/3

Jadi dari sini dapat kita simpulkan

Pada persamaan y=mx+c

Untuk gradiennya

m = koefisien x

Pada persamaan ax+by+ c = 0

m=-a/b

MENENTUKAN GRADIEN JIKA DIKETAHUI DUA TITIK

Jika diketahui suatu garis yang melalui dua titik (x1,y1) dan (x2,y2)

Maka untuk menetukan gradiden 

3. Diketahui suatu garis lurus melewati dua buah titik, yaitu (3,4) dan (-2, -5). Berapakah gradien garisnya?

MENENTUKAN PERSAMAAN GARIS LURUS

 I. Jika diketahui gradien dan satu titik yang dilalui garis

Misalnya, suatu garis melalui sebuah titik, yaitu (x₁,y₁). Kamu dapat menentukan persamaan garis lurusnya dengan rumus:

Contoh:

Tentukan persamaan garis yang bergradien 3 dan melalui titik (-2,-3)!

Penyelesaian:

Diketahui m = 3 dan (x₁,y₁) = (-2,-3). Sehingga,

Jadi, persamaan garis lurusnya adalah y = 3x + 3.

2. Persamaan Garis Lurus Yang Melaui Dua titik yaitu  ( x1 , y 1 ) dan ( x2 , y2 ) .

Contoh

1. Tentukan Gradien garis yang melalui titik ( 0 , 0 )  dengan titik A ( -20 , 25 ) ?

Penyelesaian :

Diketahui :
Titik ( 0 , 0 )
Titik A ( -20 , 25 )

Ditanya : m = . . .?

Jawab :
m = b / a = 25 / -20 = – 5/4

2. Tentukan persamaan garis Z yang melalui titik ( 4 , 5 )  dan ( -5 , 3 ) ?

Penyelesaian :

Diketahui :
Titik A ( 4 , 5 )
Titik B ( -5 , 3 )

Ditanya : Persamaan garis Z = . . .?

Jawab :

Cara 1
Langkah pertama yaitu mencari gradien terlebih dahulu :
m = y1 – y2 / x1 – x2
m =  5 – 3 / 4 – ( -5 )
m =  2 / 9

Selanjutnya yaitu memasukkan ke dalam rumus :

Persamaan garis melalui titik ( 4 , 5 ) dan bergradien 2 / 9
y – y1 = m ( x – x1 )
y – 5 = 2/9 ( x – 4 )
y – 5 = 2/9x – 8/ 9
y = 2/9 x – 8 / 9 + 5
y = 2/9 x – 8/9 + 45 /9
y = 2/9x – 37 / 9

Cara 2
Tanpa mencari gradien, yaitu dengan cara

y – 5 / 3 – 5 = x – 4 / -5 – 4
y – 5 / -2 = x – 4 / -9
-9 ( y – 5 ) = -2 ( x – 4 )
-9y + 45 = -2x + 8
-9y + 2x +45 – 8 = 0
2x – 9y + 37    : 9
< = > 2/9 x – y + 37 / 9
< = > y = 2/9x + 37 / 9