Fungsi

 Fungsi (pemetaan) merupakan relasi dari himpunan A ke himpunan B, jika setiap anggota himpunan A berpasangan tepat satu dengan anggota himpunan B. 

Semua anggota himpunan A disebut dengan Domain atau himpunan Asal.

Semua anggota himpunan B adalah Kodomain atau himpunan kawan

Dan himpunan B yang merupakan hubungan dari himpunan adalah Himpunan Hasil atau Range

Contoh

Domain adalah A = {1,2,3}

Kodomain adalah B = {1,2,3,4}

Range fungsi = {2,3,4}

Sebuah fungsi dapat dinotasikan dengan huruf kecil sepeti f, g, h. Misal, fungsi f memetakan himpunan A ke himpunan B dinotasikan f(x) dengan aturan f : x → 3x+3. Artinya fungsi f memetakan x ke 3x+3. Jadi daerah bayangan x oleh fungsi f adalah 3x+3 sehingga dapat dinotasikan dengan f(x) = 3x+3. Dari uraian ini dapat dirumuskan:

Jika fungsi f : x → ax +b dengan x anggota domain f , maka rumus fungsif adalah f(x) = ax+b

Contoh

Diketahui fungsi f : x → 3x + 3 pada himpunan bilangan bulat. Tentukan

1. f(3)
2. bayangan (-2) oleh f
3. nilai f untuk x = -4
4. nilai x untuk f(x) = 6
5. nilai a jika f(a) = 12

Jawab

Fungsi f : x → 3x + 3

Rumus fungsi: f(x) = 3x+3

1. f(3) = 3(3)+3 = 12
2. bayangan (-2) oleh f sama dengan f (-2), jadi f(-2) = 3(-2)+3 = -3
3. nilai f untuk x = -4 adalah f (-4) = 3(-4)+3 = -9
4. nilai x untuk f(x) = 6 adalah

        Jadi 3x+3=6

         <=> 3x =6-3

         <=> 3x =3

          <=> x= 3/3=1

        5. nilai a jika f(a) = 12

            Jadi 3a+3 =12

            <=> 3a = 12-3

            <=> 3a= 9

            <=> a= 9/3=3

Menentukan Rumus sebuah fungsi

Fungsi g yang berlaku pada himpunan bilangan riil ditentukan oleh rumus g(x) = ax + b dengan a dan b adalah bilangan bulat. Jika g(-2) = -4 dan g(1) = 5. Coba sobat tentukan nalai dari:

1. nilai dari a dan b
2. rumus fungsi
3. g (-3)

Jawaban

1. Untuk mencari nila a dan b kita buat persamaan dulu dari himpunan pasangan berurutan yang diketahui.
   g(-2) = -4 → -4 = -2a + b → b = 2a – 4 _…(1)
   g(1) = 5    →  5 = a + b _…(2)
   kita substitusikan persamaan 1 ke persamaan 2

   5 5 5 9 a

   = a + b = a + 2a – 4 = 3a – 4 = 3a = 3

   b = 2a – 4
   b = 2(3) -4
   b = 2
   jadi nilai a = 3 dan b = 4

2. rumus fungsinya g(x) = 3a + 2
3. g(x) = 3a + 2
   g(-3) = 3 (-3) + 2
   g (-3) = -7

Banyaknya Fungsi
Jika banyaknya anggota himpunan A adalah n(A) dan banyaknya anggota himpunan B adalah n(B) maka:
Banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B = n(B)^n(A)
Banyaknya fungsi yang mungkin dari B ke A = n(A)^n(B)

Contoh:
Himpunan A ={1,2,3,4} dan B={A,B,C}, carilah:
a. Banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B
b. Banyaknya fungsi yang mungkin dari B ke A
Jawab:
Diketahui:
n(A) = 4 dan n(B) = 3
a. Banyaknya fungsi yang mungkin dari A ke B = n(B)^n(A) = 34 = 81
b. Banyaknya fungsi yang mungkin dari B ke A = n(A)^n(B) = 43 = 64

4. Notasi dan Rumus Fungsi Linear
a. Notasi fungsi linear
Fungsi linear dinotasikan dengan f : x → ax + b
dimana:
f = nama fungsi
x = anggota daerah asal
ax+ b = bayangan dari x

b. Rumus fungsi linear
f(x) = ax + b
x variabel dan f(x) nilai fungsi
contoh:
f(x) = 2x + 2
Nilai fungsi untuk x = 2 adalah f(2) = 2 x 2 + 2 = 6

c. Grafik fungsi linear
Contoh: 
gambarlah grafik fungsi f(x) = 2x + 2
jawab:
tentukan titik potong dengan sumbu x dan y terlebih dahulu:
titik potong dengan sumbu x jika f(x) = 0
0 = 2x + 2 → 2x = -2, maka x = -1
diperoleh titik (-1,0)
titik potong dengan sumbu y jika x = 0
f(x) = 2x + 2  f(x) = 2. 0 + 2 = 2
diperoleh titik (0,2)
Buat sumbu koordinat dengan titik-titik (-1,0) dan (0,2) tersebut, kemudian
tarik garis lurus yang melewati titik-titik koordinat tersebut.

5. Korespondensi Satu-satu
Suatu fungsi disebut korespondensi satu-satu jika setiap anggota A tepat berpasangan dengan setiap anggota B.

Banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin antara himpunan A dan B adalah:
1 x 2 x 3 x .......x(n-1) x n
Contoh:
Himpunan A={1,2,3} dan himpunan B={A,B,C}. Banyaknya korespondensi satu-satu yang mungkin untuk himpunan A dan B adalah 1 x 2 x 3 = 6

Tugas Relasi

 Kerjakan di Buku Berpetak

Relasi dan Fungsi

 RELASI

Relasi adala hubungan 

Jadi relasi 2 himpunan adalah hubungan antara 2 himpunan yang saling berkaiatan

Relasi antara dua himpunan, contoh himpunan A dengan himpunan B adalah suatu aturan yang memasangkan anggota-anggota himpunan A dengan anggota-anggota himpunan B

Hubungan atau relasi antara dua himpunan dapat dituliskan atau dinyatakan menggunakan tiga buah cara sebagai berikut:

a. Diagram Panah

Perhatikan gambar di bawah ini. Relasi antara himpunan A dengan himpunan B dinyatakan dengan panah-panah yang memasangkan anggota himpunan A dengan anggota himpunan B. Karena penggambarannya menggunakan bentuk panah (arrow) maka disebut dengan diagram panah.

b. Himpunan Pasangan Berurutan

Sebuah relasi juga dapat dinyatakan dengan menggunakan pasangan beruturan. Artinya kita memasangkan himpunan A dengan himpunan B secara berurutan.

Eko menyukai warna merah
Rina menyukai warna hitam
Tono menyukai warna merah
Dika menyukai warna biru

Sobat bisa menyatakan relasinya dengan pasangan berurutan sebagai berikut:
(eko,  merah), (rina, hitam),(tono, merah),(dika, biru).

Jadi relasi antara himpunan A dengan himpunan B dapat dinyatakan sebagai pasangan berurutan (x,y) dengan x ∈ A dan y ∈ B.

c. Diagram Cartesius

Relasi antara dua himpunan dapat dinyatakan ke dalam pasangan berurutan yang kemudian dituangkan dalam dot (titik-titk) dalam diagram cartesius. Contoh dari relasi suka dengan warna di atas dapat digambarkan dalam bentuk diagram cartesius sebagai berikut:

 

tugas e-learning koordinat kartesius

 Soal 1

Pada gambar diatas tentukan

a. Jarak antara setiap titik terhadap sumbu x dan sumbu y

b. Tuliskan koordinat kartesiusnya masing-masing titik

c. Terletak di kuadran berapakah masing-masing titik tersebut

d. Hitunglah jarak CE

Soal 2

a. Gambarkan di buku berpetak titik P(-6,7) Q(3, -4) R (-5,-3) S ( 0, -4)

b. Tentukan jarak terhadap sumbu x dan sumbu y

Soal 3

a. . Gambarlah garis l melalui titik P(-3, 5) yang sejajar dengan sumbu-x dan tegak lurus dengan sumbu y

b. Gambarlah garis m melalui titik Q(-2, 3) yang tidak sejajar dengan sumbu-x dan sumbu-y!

c. Gambarlah garis l yang melaui titik K(6, -3) dan tegak lurus terhadap sumbu x! Apakah garis tersebut sejajar dengan sumbu y? Jika iya, mengapa? Jelaskanlah alasanmu.

Soal 4

Jika  A ( 2, 3) B( 0,1) C (4,1) dan D( 2,-4)

a. Gambarkan titik titik tersebut dalam koordinat kartesius

b. Bangun apakah yang terbentuk

c. Hitunglah Luasnya

TUGAS E-LEARNING POLA BILANGAN

 TUGAS 1

TUGAS 2

TUGAS 3

TUGAS 4

TUGAS 5

koordinat kartesius II

HUBUNGAN ANTAR GARIS DALAM KOORDINAT KARTESIUS

Keterangan gambar Kiri :

Keterangan gambar Kanan

Koordinat kartesius

 Pengertian Koordinat Kartesius

‘Kartesius(cartesius)’ merupakan latinisasi untuk ‘Descartes’ yang juga merupakan nama dari seorang ahli matematika dari prancis yang berperan besar menggabungkan cabang ilmu matematika yaitu geometri dan aljabar.

Koordinat kartesius digunakan untuk menyatakan posisi dari titik dalam bidang menggunakan pasangan bilangan yang disebut dengan absis (koordinat x) dan ordinat (koordinat y) dari titik tersebut.

Dalam menyatakan koordinat sebuah titik dibutuhkan dua sumbu yang saling tegak lurus (sumbu x dan sumbu y) dan panjang unit, yang memiliki tanda pada kedua ujung sumbu tersebut, lebih jelasnya, lihat gambar dibawah ini.

Keterangan :

Dari gambar koordinat diatas  menunjukkan bahwa :

Jarak titik P dengan sumbu x adalah 2 satuan berarti di koordinat y

Jarak titik P dengan sumbu y adalah 1 satuan berarti di koordinat x

Sehingga dalam koordinat kartesius dapat ditulis (1,2) absis atau "x"= 1 dan ordinat "y" = 2.

Posisi titik pada bidang koordinat cartesius dapat dibagi menjadi 4 bagian, yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV.

Untuk menulis koordinat suatu titik, ada beberapa aturan tanda dari berbagai kuadran yang perlu dipahami:

• Kuadran I merupakan daerah sumbu x positif dan sumbu y positif
• Kuadran II merupakan daerah sumbu x negatif dan sumbu y positif
• Kuadran III merupakan daerah sumbu x negatif dan sumbu y negatif
• Kuadran IV merupakan daerah sumbu x positif dan sumbu y negatif

Menurut konvensi yang berlaku dapat diurutkan dengan cara berlawanan arah mulai dari kanan atas dalam sebuah Di kuadran I, dan kedua koordinat (x dan y) adalah hasil yang positif.

Contoh

1. Gambarlah titik A(1, -2), B(-3, 6), C(2, 8), dan D(-1, -5) pada koordinat Kartesius:
   a. Tentukan titik-titik yang berada pada kuadran I, II, III, dan IV.
   b. Tentukan jarak setiap titik dengan sumbu-x
   c. Tentukan jarak setiap titik dengan sumbu-y
   Jawab:
   Titik koordinat A (1, −2), B (−3, 6), C (2, 8), dan D (−1, −5)

   
   

    a. Titik-titik yang berada pada kuadran I, II, III, dan IV.

   
   

   Titik yang berada pada kuadran I adalah titik C

   Titik yang berada pada kuadran II adalah titik B

   Titik yang berada pada kuadran III adalah titik D

   Titik yang berada pada kuadran IV adalah titik A

    b. Jarak setiap titik dengan sumbu-x

   
   

   Jarak titik A = 2 satuan

   Jarak titik B = 6 satuan

   Jarak titik C = 8 satuan

   Jarak titik D = 5 satuan

    c. Jarak setiap titik dengan sumbu-y

   
   

   Jarak titik A = 1 satuan

   Jarak titik B = 3 satuan

   Jarak titik C = 2 satuan

   Jarak titik D = 1 satuan

   
2. 
   

Gambarlah titik A(-4, 2), B(-4, 9), C(2, 2), dan D(3, 9), pada koordinat Kartesius

a. Tentukan jarak setiap titik dengan sumbu-x

b. Tentukan jarak setiap titik dengan sumbu-y

c. Tentukan jarak antara titik A dengan titik B

d. Tentukan jarak antara titik C dengan titik D

Jawab:

a. Jarak setiap titik dengan sumbu-x
Jarak titik A = 2 satuan
Jarak titik B = 9 satuan
Jarak titik C = 2 satuan
Jarak titik D = 9 satuan
b. Jarak setiap titik dengan sumbu-y
Jarak titik A = 4 satuan
Jarak titik B = 4 satuan
Jarak titik C = 2 satuan
Jarak titik D = 3 satuan
c. Jarak antara titik A dengan titik B adalah 7 satuan
d. Jarak antara titik C (2, 2), dan D (3, 9)
CD² = (x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²
= (3 - 2)² + (9 - 2)²
= 1² + 7²
= 1 + 49
= 50
CD = √50
CD = 5√2
CD = 7,07 satuan
Jadi jarak titik C terhadap titik D adalah 7,07 satuan